Wstęp teoretyczny :

Jeżeli do ciała przyłożymy ścinającą styczną to nastąpi tzw. odkształcenie przesunięcia prostego (czyli ścinanie) , a właśnie z nim związany jest moduł sztywności  .

W skali mikroskopowej odkształcenie przesunięcia prostego tłumaczy się skrzywieniem komórek siatki krystalicznej. Jeśli weźmiemy pod uwagę najprostszą siatkę kubiczną (np. NaCl) to w niej jony zajmują takie położenie, które wynika z równowagi sił przyciągających i odpychających, które działają między jonami.

W kierunku AB działamy siłą F_t, spowoduje ona to, że komórka przekształci się z sześcianu w romboid. Jak widać z rysunku przekątna AB' ulega wydłużeniu, a A'B skróceniu, czyli między jonami A oraz B' działają siły przyciągania, natomiast między A'B odpychania. Jednak jeśli przestaniemy na siatkę działać siłą F_t, , to komórki wrócą do swego położenia równowagi. Metale mające strukturę polikrystaliczną przy odkształceniu przesunięcia prostego ulegają bardziej skomplikowanym skrzywieniom siatek krystalicznych.

Prawo Hooke'a - naprężenie wewnętrzne ciała sprężyście odkształconego jest proporcjonalne do względnego odkształcenia.

Korzystając z w/w prawa otrzymujemy :

 = n p_t

gdzie :  - odkształcenie względne

p_t - naprężenie styczne

n - wielkość stała, zależna od rodzaju materiału nazywana współczynnikiem przesunięcia prostego.

Wielkość  = nazwano modułem sztywności.

Po podstawieniu otrzymujemy :

   p_t

Wzór ten można uważać za równanie definicyjne modułu sztywności. Liczbowo jest ono równe naprężeniu stycznemu, które wywołuje względne przesunięcie proste równe 1 rad .

Inny rodzaj odkształcenia to tzw. skręcenie. Przypuśćmy, że górny koniec prętu jest nieruchomy, a do dolnego końca przyłożony jest zewnętrzny moment siły M' (moment siły - jest to wielkość wektorowa opisująca oddziaływanie między ciałami, powodujące ich przyspieszenie kątowe).

Wartość liczbowa momentu siły wyraża się wzorem :

M = r F sin

Jednostką jest niutonometr.

Wybierzmy element dV pręta o powierzchni dS i długości L₁ znajdujący się w odległości p od osi pręty OO'. Pod wpływem M' pręt ulega skręceniu o kąt  co oznacza , że dla wybranego elementu dV powierzchnia dS przesuwa się z położenia A do położenia A' , a krawędzie równoległe do BA zajmują położenie równoległe do BA'. Czyli element dV ulega względnemu przesunięciu prostemu. Przy skręceniu pręta o kąt, spowodowany przyłożeniem zewnętrznego momentu siły M' , pojawia się równy co do wartości M' , ale przeciwnie skierowany wewnętrzny moment siły M (M = -M').

Obciążamy dolny koniec prętu ciałem, który ma kształt symetryczny względem osi OO' pręta. W wyniku tego eksperymentu swobodny ruch tego ciała w płaszczyźnie prostopadłej do wspólnej osi symetrii ciała i pręta jest wyrażony zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, która mówi, że jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła to ciało poruszać się będzie ruchem jednostajnie zmiennym z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do działającej siły i odwrotnie proporcjonalnym do masy tego ciała, wzorem :

M = I

I - moment bezwładności ciała względem osi symetrii

Moment bezwładności - I - wielkość fizyczna skalarna określająca rozmieszczenie mas w układzie punktów materialnych (w bryle sztywnej) będącą miarą bezwładności w ruchu obrotowym. Jednostką momentu bezwładności jest [kg m² ].

Jeżeli zmierzymy okres drgań T ciała, które zawiesiliśmy na pręcie można wyznaczyć moduł sztywności materiału, z którego wykonany jest pręt.

Wyniki pomiarów:

Dla pierwszego drutu:

d = 0,68 mm = 6,8 10^-4 m

L = 125,8 cm = 1,258 m

5To=62,8s To=12,5s

5Tw=132,9s Tw=26,5s

5Tm=118,7s Tm=23,7s

m1=0,7kg m2=1,1kg

dz1=0,2701m dz2=0,2702m

dw1=0,2485m dw2=0,2471m

Moduł sztywności ostatecznie obliczam ze wzoru:

Pomiar z mniejszym obciążeniem:

Pomiar z większym obciążeniem:

Wartość średnia modułu sztywności:

Dla drugiego drutu:

d = 0,69 mm = 6,9 10^-4 m

L = 130,1 cm = 1,301 m

5To=61,7s To=12,3s

5Tw=130s Tw=26s

5Tm=111,6s Tm=22,3s

m1=0,7kg m2=1,1kg

dz1=0,2701m dz2=0,2702m

dw1=0,2485m dw2=0,2471m

Pomiar z mniejszym obciążeniem:

Pomiar z większym obciążeniem :

Wartość średnia modułu sztywności:

Rachunek błędów:

Błąd pomiaru wartości modułu sztywności  obliczamy jako błąd maksymalny, metodą różniczki zupełnej otrzymujemy wzór:

gdzie :

d - jest potrójnym błędem standardowym wartości średniej d ,

L , D_z , _x , D_w , ₀ - są błędami maksymalnymi wartości średnich ,

ΔT=0,2s

Δd=0,01 mm=1 10^-5m

ΔL=0,1cm=0,001m

ΔD=0,1mm=1 10^-4m